Penso che tutti sappiano qual è l’etimologia della parola Pasqua: essa deriva dalla parola ebraica “pesach”, che significa passaggio. La Pasqua è la più importante festa religiosa sia per i cristiani, che per gli ebrei. Per i cristiani si chiama Pasqua di Resurrezione, perché celebra la resurrezione di Gesù a tre giorni dalla sua morte (passaggio dalla morte alla vita). Per gli ebrei si chiama Pasqua di Liberazione perché festeggia la liberazione sotto la guida di Mosè del popolo ebraico che era stato deportato in Egitto (passaggio del Mar Rosso). Poi ci sarebbero altri più sottili significati spirituali da attribuire a questa festività, quali ad esempio il senso di Purificazione dell’anima, il significato allegorico derivante dal fatto che Dio si è fatto uomo ed è morto per redimerci dai peccati, ed altre fondamentali considerazioni filosofico-teologiche sul più intimo significato della Pasqua, come potrebbe dovutamente insegnarci S.S. Benedetto XVI, che prima di assurgere al soglio di Pietro era il massimo teologo della Chiesa di Roma. Oggi, l’oggetto della nostra attenzione è una mera curiosità, dovuta ad uno dei più grandi scienziati e matematici di sempre: Carl Friedrich Gauss. Cominciamo col dire che il Concilio di Nicea, nel 325 d.C. stabilì in modo definitivo che la Pasqua di Resurrezione fosse celebrata la domenica seguente il primo plenilunio dopo l’equinozio di primavera, che nell’occasione, venne fissato una volta per tutte al 21 di marzo. Cos’è l’equinozio? Ma allora siete masochisti. Definizione scientifica: gli equinozi sono due, uno a primavera ed uno in autunno e segnano i due istanti in ogni anno solare in cui il sole si trova all’intersezione dell’eclittica con l’equatore celeste. Vedete? Se andiamo avanti così poi vi dovrei spiegare cosa sono l’eclittica e l’equatore celeste, e poi cosa sono le cose con cui spiego queste, e poi le cose con cui spiego le cose che spiegano l’eclittica e l’equatore celeste. No, basta così. Per dare un’idea, equinozio deriva dal latino equi-noctis e significa che, alle nostre latitudini, la notte dura quanto il giorno, 12 ore. Non è perfettamente vero, ma quasi. Oppure, visivamente, è l’istante in cui entrambi i poli sono sfiorati dal sole, prima che essi alternativamente si immergano in sei mesi di luce e sei mesi di tenebre. Allora, tornando alla Pasqua, il concilio niceano ci dice quando viene la festa ogni anno. Ricapitolando, si aspetta l’equinozio, cioè il 21 marzo, poi si segue la fase lunare, e quando la luna è piena si aspetta che sia domenica per spaccare l’uovo e vedere la sorpresa. Non è difficile. Ora se volete sapere la data in cui è caduta la Pasqua nel 1945, o di quando cadrà quella del 2327, per organizzarvi con amici e parenti…., non dovreste far altro che contare. Prendete per esempio l’ultimo plenilunio, ed andate a ritroso, o in avanti a seconda dei casi, di 29 giorni per volta, tanto dura un intero ciclo lunare, sino a quando non arrivate al 1945 o al 2327. Vi fermate al primo plenilunio dopo il 21 di marzo, e cercate la prima domenica ad esso successiva che è Pasqua. Ma sai che barba a farlo!!! Allora Gauss, che era un geniaccio, si inventò una specie di algoritmo (dal nome del matematico persiano Muhammad Ibn Musa ‘l-Khwàrizmi ), cioè un insieme ordinato di piccoli passi coi quali arrivare in modo (abbastanza) semplice ad un risultato. Ora con una fava prendiamo due piccioni: diamo un’idea della genialità di Gauss, ed al tempo stesso un esempio di algoritmo. Quando era piccolino e frequentava le scuole elementari, Gauss era un discolaccio che, con una combriccola di altri suoi compagni, faceva casino e disturbava la classe. Un giorno, per punizione, il maestro impose a lui ed ai suoi turbolenti compagni di fare la somma di tutti i numeri compresi tra 1 e 100. I suoi compagni cominciarono a fare il calcolo: 1+2=3, 3+3=6, 6+4=10…..e così via. Ma quando non avevano neanche sommato le prime 20 cifre Gauss aveva già consegnato al maestro il risultato esatto. Come aveva fatto? Lui si era accorto che se prendiamo una successione, supponiamo, di nove cifre consecutive da 1 a 9, cioè 1, 2, 3, ….., 9 e poi la riscriviamo al contrario ma perfettamente incolonnata con quella in una riga sottostante, cioè 9, 8, 7, ……, 1 in modo che il nove stia sotto l’1, l’8 sotto il 2, e così via, la somma in ogni colonna è la stessa, nel nostro esempio fa sempre 10, e guarda caso, è pari al valore della cifra più alta della successione, aumentata di 1. Infatti la cifra più grande del nostro esempio è 9, e la somma di ogni colonna fa 10. Nel caso di Gauss, se si scrivono tutte le cifre da 1 a 100 e poi tutte le cifre da 100 ad 1, e le incolonniamo come detto prima, si ottengono 100 colonne in cui la somma delle cifre della stessa colonna fa sempre 101. Infatti si avrà la somma di 1+100, 2+99…….100+1. Siccome le colonne sono 100, la loro somma sarà cento volte il valore della somma di ogni colonna, cioè : 100x101=10100. Però in questo modo le cifre da 1 a 100 vengono prese due volte, per cui per ottenere il risultato vero basta dividere per 2 il risultato della moltiplicazione: 10100/2= 5050, che fu il risultato esibito da Gauss ad uno strabiliato maestro! Ora, senza saperlo, Gauss a nove anni aveva definito una importante grandezza matematica: la Somma di ordine n di una successione di numeri, che vale per l’appunto nx(n+1)/2. Questa formula è un algoritmo, perché se ci mettete dentro un n qualsiasi vi da la somma di tutti i numeri da 1 ad n. Supponiamo che n sia 10, allora S(10)= 10x(10+1)/2=110/2=55. Infatti se sommate 1, 2, 3…10 dà proprio 55. A questo punto, finalmente possiamo trovare la data di Pasqua. Essa al più presto arriva il giorno dopo l’equinozio del 21 marzo, e questo accade quando un plenilunio è di sabato e coincide con l’equinozio stesso. In questo caso, infatti, la prima domenica dopo il plenilunio è il giorno dopo, cioè il 22 di marzo. In generale possiamo quindi affermare che la data della Pasqua va dal 22 marzo incluso in poi. Il caso limite contrario, che capita quest’anno a meno di un giorno, è quello in cui il plenilunio cade il 20 marzo, giorno prima dell’equinozio. Allora bisogna aspettare un ciclo lunare completo di 29 giorni per avere un altro plenilunio dopo l’equinozio, che cadrà quindi il 18 di aprile. Se poi per caso il giorno del plenilunio è pure domenica, occorre aspettare la prima domenica dopo, cioè altri 7 giorni, per cui la Pasqua finirà per cadere il 25 di aprile che è il suo massimo limite temporale. Prendiamo ad esempio quest’anno. La Pasqua è alta perché a marzo il plenilunio c’è stato il 20, il giorno prima dell’equinozio, quindi bisogna aspettare il plenilunio successivo, cioè come detto il 18 di aprile, che è un lunedì. Per arrivare alla prima domenica dopo il plenilunio occorre aspettare altri sei giorni, cioè il 24 di aprile, giorno in cui infatti sarà Pasqua. Come si fa a calcolare la data di Pasqua di un anno qualsiasi? Invece di fare il calcolo di tutte le fasi lunari, Gauss ci suggerisce un metodo più diretto che sembra una ricetta da cucina. Facciamo una serie di semplici divisioni: indichiamo con Y l’anno considerato e calcoliamo i resti di queste 3 divisioni:

a= resto di y/19; b= resto di y/4; c=resto di y/7; poi calcoliamo d= resto (19a+M)/30; ed e = resto di (N + 2b +4c + 6d)/7, dove, se l’anno è compreso tra il 1099 ed il 2099 M=24, N=5. La Pasqua cade allora (d+e) giorni dopo il 22 marzo, cioè il (d+e+22) di marzo. Naturalmente se il numero ottenuto è inferiore od uguale a 31 è un giorno di marzo, se è superiore a 31 è il giorno di aprile corrispondente a (d+e-9), che è la stessa formuletta di prima, in cui però, siccome scavalliamo da marzo ad aprile, dobbiamo scalare i 31 giorni di marzo. Infatti (d+e+22-31) = (d+e-9). Sembra un casino, ma invece…..è pure peggio!! Ma no, vediamo quanto è semplice!

 

Calcoliamo la Pasqua del 2011.

 

Y = 2011; a= resto di 2011/19, cioè 16; b= resto 2011/4 =3; c= resto 2011/7= 2

Ricordando che M=24; N = 5, possiamo calcolare:

d= resto(19a + M)/30= resto(19x16+24)/30= 28

e= resto di (N+2b+4c+6d)/7= resto di (5+2x3+4x2+6x28)/7 = resto di (5+6+8+168)/7 = resto di 187/7 = 5

 

La data di Pasqua 2011 è allora: d+e = 28+5 = 33. Ma 33 è maggiore di 31, quindi cade in aprile in data (d+e-9), cioè 33-9= 24 di aprile. Allora? Che ne dite? Il solito primo della classe mi farà osservare che questo vale per gli anni compresi tra il 1099 ed il 2099. E per gli altri anni come si fa? Beh, per generalizzare il risultato a qualsiasi anno, occorre distinguere tra calendario giuliano e calendario gregoriano. Dopo di che, bisogna aggiungere altri valori a quelli di M ed N che ho dato qui. Infine ci sono da considerare delle eccezioni alla regola. Facciamo così. Voi imparate a camminare, poi vi insegnerò pure a sciare. Ok? Per il momento auguro di tutto il cuore una Pasqua felice e serena a tutti, specialmente ai bambini. Ciao, Caelsius.